欧拉

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平面几何里的欧拉定理

发布时间：2010-09-15 09:06:15 发布人： pnacy

　　设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．

　　O、I分别为⊿ABC的外心与内心．

　　连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．

　　连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．

　　由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）

　　但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），

　　故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．

　　而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证．

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