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初等数论中的欧拉定理

发布时间：2010-09-15 09:04:19      发布人： pnacy

定理内容

　　在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则
　　a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

证明

　　首先证明下面这个命题：
　　对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}
　　则S = Zn
　　1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此
　　任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素
　　2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj
　　则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。
　　所以，很明显，S=Zn
　　既然这样，那么
　　（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)
　　= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)
　　= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
　　考虑上面等式左边和右边
　　左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)
　　右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
　　而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质
　　根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
　　a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
　　推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)
　　费马定理:
　　a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
　　证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
　　同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p)

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